Wzory w LaTeXu

Piszemy artykuł ze wzorami matematycznymi

LaTeX jest bogato wyposażony w środki służące do eleganckiego i prostego redagowania wzorów matematycznych. Oczywiście wszystko to, co powiedzieliśmy dotąd o redagowaniu artykułów odnosi się także do prac matematycznych i artykułów technicznych zawierających wzory. Czytelnik nie zamierzający ich stosować może, w zasadzie, rozdział ten pominąć.

Otoczenie matematyczne

Poznaliśmy już kilka otoczeń, na przykład służących do wyliczania (Rozdział 4.2). Otoczenie matematyczne, które dalej w skrócie oznaczać będziemy math, ma wiele cech podobnych. Są jednak także pewne różnice, sprowadzające się do tego, że w otoczeniu math nie wszystkie komendy są dozwolone lub działają nieco inaczej.

Sposobów wchodzenia w otoczenie math jest kilka, w zależności od tego czy wzór ma być w tekście, czy poza nim, numerowany czy też nie. O tych komendach, które powodują umieszczenie wzoru poza tekstem z pustymi liniami przed i po wzorze, będziemy krótko mówić, że eksponują wzór. Chociaż takie użycie tego słowa nie jest w języku polskim powszechnie przyjęte, wydaje się ono lepsze niż kalka językowa wzór wyświetlony na oznaczenie displayed formula.

Deklarowanie otoczenia math.

Podstawowe sposoby deklarowania otoczenia math są następujące:

• Deklarowanie wzorów w tekście:

  1. $tekst wzoru$

  2. \\(tekst wzoru\\)¹

  3. \begin{math} tekst wzoru \end{math}

• Eksponowanie wzorów bez numeracji:

  1. \\[tekst wzoru\\]

  2. \begin{displaymath} tekst wzoru \end{displaymath}

• Wzory eksponowane i numerowane² (za wyjątkiem pozycji 3):

  1. \begin{equation} tekst wzoru \end{equation}

  2. \begin{eqnarray} tekst wzoru \end{eqnarray}

  3. \begin{eqnarray*} tekst wzoru \end{eqnarray*}

  W tym przypadku trzeba skorzystać z krótkiego kodu math.

Zakres zastosowania powyższych deklaracji nie wymaga, w zasadzie, komentarza. Jakie są zatem różnice między deklaracjami otoczeń z tej samej grupy. Deklaracje grup pierwszej i drugiej są wewnątrz grup równoważne. To po co jest ich po kilka? Te krótkie służą ekonomii pisania znaczków. Te długie, służą, jak się wydaje, zapewnieniu jednolitej formy komendom definiującym otoczenia w LaTeXu. Ale nie tylko, komendy zawierające backlash i nawiasy (okrągłe i kwadratowe) bywają kłopotliwe wtedy, gdy we wzorach następuje ,,zgęszczenie" różnych nawiasów. W takich sytuacjach lepiej używać pełnej słownej, formy komendy. Odporna na różne konteksty zastosowań jest też komenda $tekst wzoru$, stosowana do wzorów w tekście.

Komentarza wymagają też różnice między deklaracjami trzeciej grupy. Wszystkie one eksponują wzory, z tym, że otoczenie equation stosuje się do pojedynczych wzorów, natomiast otoczenie eqnarray stosowane jest do wzorów w kilku wierszach (jak je pisać pokażemy osobno poniżej). W obu tych przypadkach wzory są numerowane kolejno - LaTeX zakłada osobny licznik do numerowania wzorów (kwestię odwoływania się do wzorów też omówimy osobno dalej). Wersja eqnarray z gwiazdką też służy do pisania wzorów wielowierszowych, lecz ich nie numeruje.

Zanim przejdziemy do prezentacji sposobów pisania różnych symboli we wzorach, zobaczmy jak wyglądają one w poszczególnych otoczeniach.

Przykłady wzorów w tekście.

Aby wyeksponować wzór, piszemy tak:

$$a^{2} + b^{2} =c^{2}$$

$$a^{2} + b^{2} =c^{2}$$

$$a\in A \; {\rm and} \; b\in B \; {\rm then} \; a\in A\cup B$$ 
$$A\subset A\cup B$$

$$a\in A ; {\rm and} ; b\in B ; {\rm then} ; a\in A\cup B$$

$$A\subset A\cup B$$

Powyżej użyto kilku symboli, które zdefiniujemy dopiero później, ale ich znaczenia nietrudno się domyślić. W szczególności, {\rm tekst} powoduje, że tekst wewnątrz otoczenia math nie zostanie potraktowany jako ciąg symboli matematycznych. Przykład zastosowania otoczenia eqnarray podamy dalej.

Podstawowe zasady redagowania wzorów matematycznych

Prosimy Czytelnika o wyrozumiałe potraktowanie podanych niżej zasad redagowania wzorów pod LaTeXem. Są one ogólne i jako takie bywają trywialne (to w celu ośmielenia, aby samemu spróbować) lub są od nich wyjątki (i te mogą denerwować, jeśli zasady potraktuje się zbyt dogmatycznie).

Zasady redagowania wzorów.

1. Wszystkie wzory, a nawet pojedyncze litery w tekście, będące symbolami matematycznymi piszemy w otoczeniu math.

2. Wewnątrz otoczenia math większość wzorów daje się pisać zgodnie ze ,,zdrowym rozsądkiem", a jeśli na coś nie ma symbolu na klawiaturze, to powiniśmy znaleźć go w tej książce.

3. Symbole LaTeXa używane we wzorach mają wewnętrzną logikę, raz obejrzane i kilka razy użyte same wchodzą w podświadomość.

4. Próby własnego formatowania wzoru w otoczeniu math nie mają większego sensu. LaTeX nie bierze pod uwagę dodatkowych spacji, chyba że specjalnie go do tego skłonimy.

5. Większość standardowych funkcji matematycznych oraz będących w międzynarodowym użyciu skrótów matematycznych oznacza to co powinny oznaczać, należy je tylko poprzedzić backslashem. I tak: \sin x oznacza $\sin x$. Szczegółowe informacje podano w poniższej Tablicy.

   LaTeX	Wygląd	LaTeX	Wygląd
   \arccos	$\arccos$	\arcsin	$\arcsin$
   \arctan	$\arctan$	\cos	$\cos$
   \cosh	$\cosh$	\cot	$\cot$
   \coth	$\coth$	\csc	$\csc$
   \deg	$\deg$	\det	$\det$
   \dim	$\dim$	\exp	$\exp$
   \gcd	$\gcd$	\hom	$\hom$
   \ker	$\ker$	\Pr	$\Pr$
   \sec	$\sec$	\sin	$\sin$
   \sinh	$\sinh$	\tan	$\tan$
   \tanh	$\tanh$

6. Większość greckich liter pisze się tak: \angielski zapis litery. Przykładowo: \alpha, \beta, \gamma oznaczają to, czego można się po nich spodziewać ($\alpha \beta \gamma$).

Wśród ogólnych zasad wymienić warto reguły pisania indeksów u dołu i u góry liter.

Indeksy górne.

litera^{indeks}
(tekst wzoru)^{indeks}

Przykład

$$x^{2} + a^{i^{2}} \;\; x^{x} -  e^{2x}$$

$$x^{2} + a^{i^{2}} ;; x^{x} - e^{2x}$$

Indeksy dolne.

litera_{indeks dolny}
(tekst wzoru)_{indeks dolny}

Przykład

$$x_{i}+a_{i_{j}} - z_{i+j}$$ 

$$x_{i}+a_{i_{j}} - z_{i+j}$$​

$$x_{\bullet}+H_{\sqrt(n)}$$

$$x_{\bullet}+H_{\sqrt(n)}$$

Możliwe jest oczywiście równoczesne użycie dolnych i górnych indeksów:

$$x^{(i)}_{j} + a_{j^{2}} + b^{(i_{1})}_{k_{2}}$$

Jeżeli wzór po przekształceniu do HTML nie wygląda tak jak powinien — zapewne wynika to z tego, że zawartość wzoru jest przekształcana przez parser Markdown — można zamknąć go wewnącz krótkiego kodu

{{< math >}} wzór {{< /math >}}

Musiałem to zrobić w przypadku powyższego wzoru.

Pisanie indeksów umieściliśmy wśród ogólnych zasad pisania wzorów. Uzasadnienie tego wyboru zawarte jest w poniższych stwierdzeniach.

• Zarówno litera jak i indeks w powyższych schematach pisania indeksów mogą być skomplikowanymi wyrażeniami.

• Te same zasady rządzą pisaniem indeksów i potęg.

• Dokładnie tak samo jak indeksy piszemy zakresy sumowania, całkowania i wielokrotnego indeksowanego mnożenia.

Podstawowe operacje

Prezentację symboli LaTeXa spróbowaliśmy podzielić na (umowne) działy, aby ułatwić ich odnajdowanie.

Cztery działania

Dodawanie i odejmowanie nie nastręczają trudności. Piszemy zwyczajnie: $a+b$ oraz $a-b$, z użyciem dostępnych na klawiaturze znaków.

Mnożenie i dzielenie.

Klawiatura nie zawiera kropki do mnożenia (* rezerwuje LaTeX do swoich komend). Dlatego operacje te piszemy wybierając jeden ze sposobów podanych w Tablicy, pamiętając o pisaniu wzorów w otoczeniu math.

Zwracamy uwagę, że między nawiasami klamrowymi obejmującymi licznik i mianownik [nie ma spacji]{.ul}.

Przykłady

$$(a+b)\cdot(c+d) + \frac{a+b}{c-d}$$ 

$$(a+b)\cdot(c+d) + \frac{a+b}{c-d}$$​

$$a_{i}\cdot\frac{x}{x+\frac{1}{y}}$$ 

$$a_{i}\cdot\frac{x}{x+\frac{1}{y}}$$

$$\frac{1+a\times (b+\frac{c}{d+1})}{x+y}$$

$$\frac{1+a\times (b+\frac{c}{d+1})}{x+y}$$

Zobaczymy teraz jak pisać sumy i iloczyny indeksowane.

$$\sum x_{i} \;\; \prod a_{i}$$ 

$$\sum x_{i} ;; \prod a_{i}$$​​

$$\sum_{i} x_{i} \;\; \prod_{i} a_{i}$$ 

$$\sum_{i} x_{i} ;; \prod_{i} a_{i}$$

$$\sum_{i=1}^{n} x_{i} ; ; \prod_{i=1}^{n} a_{i}$$

Oczywiście $x_{i}$ oraz $a_{i}$ w powyższych wzorach zastąpić można znacznie bardziej skomplikowanymi wyrażeniami. Uwaga ta dotyczy też zakresów sumowania i mnożenia.

Inne często używane działania arytmetyczne

Pierwiastkowanie.

   \sqrt{argument}
   \sqrt[n]{argument}

Przykładowo:

$$\sqrt[3]{x+y+z-2}$$

$$\sqrt[3]{x+y+z-2}$$

W skomplikowanych wyrażeniach, gdzie znak pierwiastka byłby monstrualnych rozmiarów, lepiej użyć znaku potęgowania do ułamkowej potęgi.

Potęgowanie.

Oto przykłady komend:

$$a^{b} \;\;   (a+b)^{c}$$

$$a^{b} ;; (a+b)^{c}$$​

 $$a^{\frac{b}{c}}$$

$$a^{\frac{b}{c}}$$

Przykłady te pokazują, że zarówno wyrażenie podnoszone do potęgi jak i wykładnik mogą być skomplikowanymi wzorami, do których stosują się reguły otoczenia math.

Znaki równości, nierówności i im podobne

Znaki +, -, = dostępne są na klawiaturze i te piszemy (we wzorach) ,,normalnie", tzn. bez żadnych ozdobników w postaci \, nawiasów itp. Sposób pisania tych znaków poza wzorami wymaga rozważenia! Cyfry, znaki operacji , relacji w trybie matematycznym wyglądają nieco inaczej.

-1 
+3 
2=7

-1

+3

2=7

$-1$
$+3$
$2=7$

$-1$

$+3$

$2=7$

Zestaw symboli, które trzeba pisać specjalnie podajemy poniżej

$<$

< obie ostre nierówności (i inne znaki też)

$>$

> stosować w otoczeniu math.

$\leq$

\leq mniejsze lub równe.

$\geq$

\geq większe lub równe.

$\equiv$

\equiv równoważne.

$\sim$

\sim tego samego rzędu, podobne.

$\simeq$

\simeq w przybliżeniu równe, podobne lub równe.

$\approx$

\approx w przybliżeniu równe, aproksymuje.

$\cong$

\cong kongruentne, w przybliżeniu równe.

$\asymp$

\asymp równość asymptotyczna.

$\neq$

\neq nie jest równe.

$\doteq$

\doteq polecamy do zapisu równości z definicji, bo wstawienie znaczka def nad = jest pracochłonne.

$\ll$

\ll znacznie mniejsze (zwykle o kilka rzędów).

$\gg$

\gg znacznie większe (zwykle o kilka rzędów).

A oto przykłady zastosowania kilku symboli z powyższego zestawu

$$a+b\leq c$$

$$a+b\leq c$$

 $$A\equiv B$$

$$A\equiv B$$​

$$a^{2}\ll \sqrt[10]{a}$$

$$a^{2}\ll \sqrt[10]{a}$$

Wzory podstaw matematyki

Wyrażenia teorii mnogości

Podstawowe wyrażenia teorii mnogości pisze się całkiem naturalnie. Jak można oczekiwać, \in oznacza element zbioru, a \subset podzbiór zbioru. A oto przykłady (\quad to taki większy odstęp):

$$a\in A \quad A\subset B$$

$$a\in A \quad A\subset B$$​

$$a\in A\subset B$$

$$a\in A\subset B$$

Pełną listę operacji poniżej

$\subset$

\subset podzbiór.

$\subseteq$

\subseteq podzbiór, który może być równy całemu zbiorowi.

$\supset$

\supset nadzbiór.

$\supseteq$

\supseteq nadzbiór, który może być równy zbiorowi.

$\in$

\in element zbioru.

$\ni$

\ni element zbioru.

$\emptyset$

\emptyset zbiór pusty.

$\sqsubset$

\sqsubset nie wiemy, co sądzić o takim podzbiorze.

$\sqsubseteq$

\sqsubseteq to też taki podzbiór, ale może być równy temu, w którym się zawiera.

$\sqsupset$

\sqsupset jeśli poprzednie nam nie przeszkadzały to ten też nie powinien.

$\sqsupseteq$

sqsupseteq łatwo było zgadnąć, jak taki znaczek otrzymać i co on oznacza.

$\cap$

\cap iloczyn zbiorów.

$\cup$

\cup suma zbiorów.

$\bigcap$

\bigcap ,,duży" iloczyn zbiorów.

$\bigcup$

\bigcup ,,duża" suma zbiorów.

Można oczywiście indeksować sumy i iloczyny zbiorów. Na przykład:

$$\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}$$

A jak zrobić różnice symetryczną zbiorów? Wobec braku jednolitej konwencji w literaturze można użyć jednego z poniższych znaczków:

$$\ominus \quad \setminus \quad \triangle$$

$$\ominus \quad \setminus \quad \triangle$$

Warto wspomnieć jeszcze o komendzie \aleph ($\aleph$). Natomiast specjalnego znaku do oznaczania mocy zbioru nie znaleźliśmy.

Kwantyfikatory i wyrażenia logiczne

Zacznijmy od najprostszych symboli:

$\vee$

\vee alternatywa.

$\wedge$

\wedge koniunkcja.

$\Rightarrow$

\Rightarrow implikacja.

$\Leftarrow$

\Leftarrow implikacja (lewa, ale nie koniecznie nieprawdziwa).

$\neg$

\neg znak negacji logicznej.

$\forall$

\forall duży kwantyfikator.

$\exists$

\exists mały kwantyfikator.

$\bigwedge$

\bigwedge duży kwantyfikator dla tradycjonalistów.

$\bigvee$

\bigvee mały kwantyfikator tradycyjny.

$\Leftrightarrow$

\Leftrightarrow wtedy i tylko wtedy, wynikanie w obie strony.

$\Longrightarrow$

\Longrightarrow implikacja (długa, ale przez to nie koniecznie bardziej prawdziwa).

$\Longleftarrow$

\Longleftarrow implikacja (długa w lewo).

$\Longleftrightarrow$

\Longleftrightarrow to chyba najdłuższa zbitka kilku słów bez spacji jaka w LaTeXu występuje.

$\Downarrow$

\Downarrow implikacja z góry w dół może się przydać w diagramach wnioskowania).

$\Uparrow$

\Uparrow niektórzy wolą wnioskować z lewa na prawo a inni z dołu do góry.

$\Updownarrow$

\Updownarrow a jeszcze inni wolą w obie strony.

$\models$

\models to też jest podobno w logice używane.

$\prec$

\prec symbol relacji poprzedzania.

$\preceq$

\preceq poprzedza lub współwystępuje.

$\succ$

\succ następnik.

$\succeq$

\succeq następnik, który może się spóżnić.

Warto zwrócić uwagę, że LaTeX rozróżnia duże i małe litery, także w komendach. Jeśli zatem napiszemy \rightarrow zamiast \Rightarrow, to strzałka będzie cieńsza niż chcieliśmy ($\rightarrow \quad \Rightarrow$).

Sposoby pisania kwantyfikatorów podano powyżej. A jak zapisać zakres obowiązywania kwantyfikatora? Można to zrobić z użyciem wyrażeń typu indeksów dolnych. Przykładowo:

$$\forall_{x > 0} \quad \exists_{x\in A}$$

$$\forall_{x > 0} \quad \exists_{x\in A}$$