Wzory w LaTeXu | Wojciech Myszka

Piszemy artykuł ze wzorami matematycznymi

LaTeX jest bogato wyposażony w środki służące do eleganckiego i prostego redagowania wzorów matematycznych. Oczywiście wszystko to, co powiedzieliśmy dotąd o redagowaniu artykułów odnosi się także do prac matematycznych i artykułów technicznych zawierających wzory. Czytelnik nie zamierzający ich stosować może, w zasadzie, rozdział ten pominąć.

Otoczenie matematyczne

Poznaliśmy już kilka otoczeń, na przykład służących do wyliczania (Rozdział 4.2). Otoczenie matematyczne, które dalej w skrócie oznaczać będziemy math, ma wiele cech podobnych. Są jednak także pewne różnice, sprowadzające się do tego, że w otoczeniu math nie wszystkie polecenia są dozwolone lub działają nieco inaczej.

Sposobów wchodzenia w otoczenie math jest kilka, w zależności od tego czy wzór ma być w tekście, czy poza nim, numerowany czy też nie. O tych poleceniach, które powodują umieszczenie wzoru poza tekstem z pustymi liniami przed i po wzorze, będziemy krótko mówić, że eksponują wzór. Chociaż takie użycie tego słowa nie jest w języku polskim powszechnie przyjęte, wydaje się ono lepsze niż kalka językowa wzór wyświetlony na oznaczenie displayed formula.

Deklarowanie otoczenia math.

Podstawowe sposoby deklarowania otoczenia math są następujące:

Deklarowanie wzorów w tekście:
1. $tekst wzoru$
2. $tekst wzoru$¹
3. \begin{math} tekst wzoru \end{math}
Eksponowanie wzorów bez numeracji:
1. \[tekst wzoru\]
2. \begin{displaymath} tekst wzoru \end{displaymath}
Wzory eksponowane i numerowane² (za wyjątkiem pozycji 3):
1. \begin{equation} tekst wzoru \end{equation}
2. \begin{eqnarray} tekst wzoru \end{eqnarray}
3. \begin{eqnarray*} tekst wzoru \end{eqnarray*}
W tym przypadku trzeba skorzystać z krótkiego kodu math.

Zakres zastosowania powyższych deklaracji nie wymaga, w zasadzie, komentarza. Jakie są zatem różnice między deklaracjami otoczeń z tej samej grupy. Deklaracje grup pierwszej i drugiej są wewnątrz grup równoważne. To po co jest ich po kilka? Te krótkie służą ekonomii pisania znaczków. Te długie, służą, jak się wydaje, zapewnieniu jednolitej formy poleceniom definiującym otoczenia w LaTeXu. Ale nie tylko, polecenia zawierające backlash i nawiasy (okrągłe i kwadratowe) bywają kłopotliwe wtedy, gdy we wzorach następuje ,,zgęszczenie" różnych nawiasów. W takich sytuacjach lepiej używać pełnej słownej, formy polecenia. Odporna na różne konteksty zastosowań jest też polecenie $tekst wzoru$ , stosowana do wzorów w tekście.

Komentarza wymagają też różnice między deklaracjami trzeciej grupy. Wszystkie one eksponują wzory, z tym, że otoczenie equation stosuje się do pojedynczych wzorów, natomiast otoczenie eqnarray stosowane jest do wzorów w kilku wierszach (jak je pisać pokażemy osobno poniżej). W obu tych przypadkach wzory są numerowane kolejno - LaTeX zakłada osobny licznik do numerowania wzorów (kwestię odwoływania się do wzorów też omówimy osobno dalej). Wersja eqnarray z gwiazdką też służy do pisania wzorów wielowierszowych, lecz ich nie numeruje.

Zanim przejdziemy do prezentacji sposobów pisania różnych symboli we wzorach, zobaczmy jak wyglądają one w poszczególnych otoczeniach.

Przykłady wzorów w tekście.

LaTeX	Wygląd
$a = b\cdot c$	$a = b\cdot c$
`$a = b\cdot c$`	(a = b\cdot c)
`Niech $a=b+c$ oraz niech $d=e+f$.`	Niech $a=b+c$ oraz niech $d=e+f$.
`Wtedy $a+d=b+c+e+f$`	Wtedy $a+d=b+c+e+f$

Aby wyeksponować wzór, piszemy tak:

$$a^{2} + b^{2} =c^{2}$$

$$a^{2} + b^{2} =c^{2}$$

$$a\in A \; {\rm and} \; b\in B \; {\rm then} \; a\in A\cup B$$ 
$$A\subset A\cup B$$

$$a\in A \; {\rm and} \; b\in B \; {\rm then} \; a\in A\cup B$$

$$A\subset A\cup B$$

Powyżej użyto kilku symboli, które zdefiniujemy dopiero później, ale ich znaczenia nietrudno się domyślić. W szczególności, {\rm tekst} powoduje, że tekst wewnątrz otoczenia math nie zostanie potraktowany jako ciąg symboli matematycznych. Przykład zastosowania otoczenia eqnarray podamy dalej.

Podstawowe zasady redagowania wzorów matematycznych

Prosimy Czytelnika o wyrozumiałe potraktowanie podanych niżej zasad redagowania wzorów pod LaTeXem. Są one ogólne i jako takie bywają trywialne (to w celu ośmielenia, aby samemu spróbować) lub są od nich wyjątki (i te mogą denerwować, jeśli zasady potraktuje się zbyt dogmatycznie).

Zasady redagowania wzorów.

Wszystkie wzory, a nawet pojedyncze litery w tekście, będące symbolami matematycznymi piszemy w otoczeniu math.
Wewnątrz otoczenia math większość wzorów daje się pisać zgodnie ze ,,zdrowym rozsądkiem", a jeśli na coś nie ma symbolu na klawiaturze, to powiniśmy znaleźć go w tej książce.
Symbole LaTeXa używane we wzorach mają wewnętrzną logikę, raz obejrzane i kilka razy użyte same wchodzą w podświadomość.
Próby własnego formatowania wzoru w otoczeniu math nie mają większego sensu. LaTeX nie bierze pod uwagę dodatkowych spacji, chyba że specjalnie go do tego skłonimy.

Większość standardowych funkcji matematycznych oraz będących w międzynarodowym użyciu skrótów matematycznych oznacza to co powinny oznaczać, należy je tylko poprzedzić backslashem. I tak: \sin x oznacza $\sin x$. Szczegółowe informacje podano w poniższej Tablicy.

LaTeX	Wygląd	LaTeX	Wygląd
`\arccos`	$\arccos$	`\arcsin`	$\arcsin$
`\arctan`	$\arctan$	`\cos`	$\cos$
`\cosh`	$\cosh$	`\cot`	$\cot$
`\coth`	$\coth$	`\csc`	$\csc$
`\deg`	$\deg$	`\det`	$\det$
`\dim`	$\dim$	`\exp`	$\exp$
`\gcd`	$\gcd$	`\hom`	$\hom$
`\ker`	$\ker$	`\Pr`	$\Pr$
`\sec`	$\sec$	`\sin`	$\sin$
`\sinh`	$\sinh$	`\tan`	$\tan$
`\tanh`	$\tanh$

Większość greckich liter pisze się tak: \angielski zapis litery. Przykładowo: \alpha, \beta, \gamma oznaczają to, czego można się po nich spodziewać ($\alpha \beta \gamma$).

Wśród ogólnych zasad wymienić warto reguły pisania indeksów u dołu i u góry liter.

Indeksy górne.

litera^{indeks}
(tekst wzoru)^{indeks}

Przykład

$$x^{2} + a^{i^{2}} \;\; x^{x} -  e^{2x}$$

$$x^{2} + a^{i^{2}} \;\; x^{x} - e^{2x}$$

Indeksy dolne.

litera_{indeks dolny}
(tekst wzoru)_{indeks dolny}

Przykład

$$x_{i}+a_{i_{j}} - z_{i+j}$$

$$x_{i}+a_{i_{j}} - z_{i+j}$$

$$x_{\bullet}+H_{\sqrt(n)}$$

$$x_{\bullet}+H_{\sqrt(n)}$$

Możliwe jest oczywiście równoczesne użycie dolnych i górnych indeksów:

$$x^{(i)}_{j} + a_{j^{2}} + b^{(i_{1})}_{k_{2}}$$

$$x^{(i)}_{j} + a_{j^{2}} + b ^{(i_{1})}_{k_{2}}$$

Jeżeli wzór po przekształceniu do HTML nie wygląda tak jak powinien — zapewne wynika to z tego, że zawartość wzoru jest przekształcana przez parser Markdown — można zamknąć go wewnącz krótkiego kodu

{{< math >}} wzór {{< /math >}}

Musiałem to zrobić w przypadku powyższego wzoru.

Pisanie indeksów umieściliśmy wśród ogólnych zasad pisania wzorów. Uzasadnienie tego wyboru zawarte jest w poniższych stwierdzeniach.

Zarówno litera jak i indeks w powyższych schematach pisania indeksów mogą być skomplikowanymi wyrażeniami.
Te same zasady rządzą pisaniem indeksów i potęg.
Dokładnie tak samo jak indeksy piszemy zakresy sumowania, całkowania i wielokrotnego indeksowanego mnożenia.

Podstawowe operacje

Prezentację symboli LaTeXa spróbowaliśmy podzielić na (umowne) działy, aby ułatwić ich odnajdowanie.

Cztery działania

Dodawanie i odejmowanie nie nastręczają trudności. Piszemy zwyczajnie: $a+b$ oraz $a-b$, z użyciem dostępnych na klawiaturze znaków.

Mnożenie i dzielenie.

Klawiatura nie zawiera kropki do mnożenia (* rezerwuje LaTeX do swoich poleceń). Dlatego operacje te piszemy wybierając jeden ze sposobów podanych w Tablicy, pamiętając o pisaniu wzorów w otoczeniu math.

LaTeX	Wygląd
$ab$	$ab$
$a\cdot b$	$a\cdot b$
$a\times b$	$a\times b$
$a * b$	$a * b$
$\frac{licznik}{mianownik}$	$\frac{licznik}{mianownik}$
$\dfrac{licznik}{mianownik}$ ³	$\dfrac{licznik}{mianownik}$

Zwracamy uwagę, że między nawiasami klamrowymi obejmującymi licznik i mianownik nie ma spacji.

Przykłady

$$(a+b)\cdot(c+d) + \frac{a+b}{c-d}$$

$$(a+b)\cdot(c+d) + \frac{a+b}{c-d}$$

$$a_{i}\cdot\frac{x}{x+\frac{1}{y}}$$

$$a_{i}\cdot\frac{x}{x+\frac{1}{y}}$$

$$\frac{1+a\times (b+\frac{c}{d+1})}{x+y}$$

$$\frac{1+a\times (b+\frac{c}{d+1})}{x+y}$$

Zobaczymy teraz jak pisać sumy i iloczyny indeksowane.

$$\sum x_{i} \quad \prod a_{i}$$

$$\sum x_{i} \quad \prod a_{i}$$

$$\sum_{i} x_{i} \quad \prod_{i} a_{i}$$

$$\sum_{i} x_{i} \quad \prod_{i} a_{i}$$ $$\sum_{i=1}^{n} x_{i} \quad \prod_{i=1}^{n} a_{i}$$

Oczywiście $x_{i}$ oraz $a_{i}$ w powyższych wzorach zastąpić można znacznie bardziej skomplikowanymi wyrażeniami. Uwaga ta dotyczy też zakresów sumowania i mnożenia.

Inne często używane działania arytmetyczne

Pierwiastkowanie.

   \sqrt{argument}
   \sqrt[n]{argument}

Przykładowo:

$$\sqrt[3]{x+y+z-2}$$

$$\sqrt[3]{x+y+z-2}$$

W skomplikowanych wyrażeniach, gdzie znak pierwiastka byłby monstrualnych rozmiarów, lepiej użyć znaku potęgowania do ułamkowej potęgi.

Potęgowanie.

Oto przykłady poleceń:

$$a^{b} \quad  (a+b)^{c}$$

$$a^{b} \quad (a+b)^{c}$$

 $$a^{\frac{b}{c}}$$

$$a^{\frac{b}{c}}$$

Przykłady te pokazują, że zarówno wyrażenie podnoszone do potęgi jak i wykładnik mogą być skomplikowanymi wzorami, do których stosują się reguły otoczenia math.

Znaki równości, nierówności i im podobne

Znaki +, -, = dostępne są na klawiaturze i te piszemy (we wzorach) ,,normalnie", tzn. bez żadnych ozdobników w postaci \, nawiasów itp. Sposób pisania tych znaków poza wzorami wymaga rozważenia! Cyfry, znaki operacji , relacji w trybie matematycznym wyglądają nieco inaczej.

-1 
+3 
2=7

-1

2=7

$-1$
$+3$
$2=7$

$-1$

$+3$

$2=7$

Zestaw symboli, które trzeba pisać specjalnie podajemy poniżej

$<$: < obie ostre nierówności (i inne znaki też)
$>$: > stosować w otoczeniu math.
$\leq$: \leq mniejsze lub równe.
$\geq$: \geq większe lub równe.
$\equiv$: \equiv równoważne.
$\sim$: \sim tego samego rzędu, podobne.
$\simeq$: \simeq w przybliżeniu równe, podobne lub równe.
$\approx$: \approx w przybliżeniu równe, aproksymuje.
$\cong$: \cong kongruentne, w przybliżeniu równe.
$\asymp$: \asymp równość asymptotyczna.
$\neq$: \neq nie jest równe.
$\doteq$: \doteq polecamy do zapisu równości z definicji, bo wstawienie znaczka def nad = jest pracochłonne.
$\ll$: \ll znacznie mniejsze (zwykle o kilka rzędów).
$\gg$: \gg znacznie większe (zwykle o kilka rzędów).

A oto przykłady zastosowania kilku symboli z powyższego zestawu

$$a+b\leq c$$

$$a+b\leq c$$

 $$A\equiv B$$

$$A\equiv B$$

$$a^{2}\ll \sqrt[10]{a}$$

$$a^{2}\ll \sqrt[10]{a}$$

Wzory podstaw matematyki

Wyrażenia teorii mnogości

Podstawowe wyrażenia teorii mnogości pisze się całkiem naturalnie. Jak można oczekiwać, \in oznacza element zbioru, a \subset podzbiór zbioru. A oto przykłady (\quad to taki większy odstęp):

$$a\in A \quad A\subset B$$

$$a\in A \quad A\subset B$$

$$a\in A\subset B$$

$$a\in A\subset B$$

Pełną listę operacji poniżej

$\subset$: \subset podzbiór.
$\subseteq$: \subseteq podzbiór, który może być równy całemu zbiorowi.
$\supset$: \supset nadzbiór.
$\supseteq$: \supseteq nadzbiór, który może być równy zbiorowi.
$\in$: \in element zbioru.
$\ni$: \ni element zbioru.
$\emptyset$: \emptyset zbiór pusty.
$\sqsubset$: \sqsubset nie wiemy, co sądzić o takim podzbiorze.
$\sqsubseteq$: \sqsubseteq to też taki podzbiór, ale może być równy temu, w którym się zawiera.
$\sqsupset$: \sqsupset jeśli poprzednie nam nie przeszkadzały to ten też nie powinien.
$\sqsupseteq$: sqsupseteq łatwo było zgadnąć, jak taki znaczek otrzymać i co on oznacza.
$\cap$: \cap iloczyn zbiorów.
$\cup$: \cup suma zbiorów.
$\bigcap$: \bigcap ,,duży" iloczyn zbiorów.
$\bigcup$: \bigcup ,,duża" suma zbiorów.

Można oczywiście indeksować sumy i iloczyny zbiorów. Na przykład:

$$\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}$$

A jak zrobić różnice symetryczną zbiorów? Wobec braku jednolitej konwencji w literaturze można użyć jednego z poniższych znaczków:

$$\ominus \quad \setminus \quad \triangle$$

$$\ominus \quad \setminus \quad \triangle$$

Warto wspomnieć jeszcze o poleceniu \aleph ($\aleph$). Natomiast specjalnego znaku do oznaczania mocy zbioru nie znaleźliśmy.

Kwantyfikatory i wyrażenia logiczne

Zacznijmy od najprostszych symboli:

$\vee$: \vee alternatywa.
$\wedge$: \wedge koniunkcja.
$\Rightarrow$: \Rightarrow implikacja.
$\Leftarrow$: \Leftarrow implikacja (lewa, ale nie koniecznie nieprawdziwa).
$\neg$: \neg znak negacji logicznej.
$\forall$: \forall duży kwantyfikator.
$\exists$: \exists mały kwantyfikator.
$\bigwedge$: \bigwedge duży kwantyfikator dla tradycjonalistów.
$\bigvee$: \bigvee mały kwantyfikator tradycyjny.
$\Leftrightarrow$: \Leftrightarrow wtedy i tylko wtedy, wynikanie w obie strony.
$\Longrightarrow$: \Longrightarrow implikacja (długa, ale przez to nie koniecznie bardziej prawdziwa).
$\Longleftarrow$: \Longleftarrow implikacja (długa w lewo).
$\Longleftrightarrow$: \Longleftrightarrow to chyba najdłuższa zbitka kilku słów bez spacji jaka w LaTeXu występuje.
$\Downarrow$: \Downarrow implikacja z góry w dół może się przydać w diagramach wnioskowania).
$\Uparrow$: \Uparrow niektórzy wolą wnioskować z lewa na prawo a inni z dołu do góry.
$\Updownarrow$: \Updownarrow a jeszcze inni wolą w obie strony.
$\models$: \models to też jest podobno w logice używane.
$\prec$: \prec symbol relacji poprzedzania.
$\preceq$: \preceq poprzedza lub współwystępuje.
$\succ$: \succ następnik.
$\succeq$: \succeq następnik, który może się spóżnić.

Warto zwrócić uwagę, że LaTeX rozróżnia duże i małe litery, także w poleceniach. Jeśli zatem napiszemy \rightarrow zamiast \Rightarrow, to strzałka będzie cieńsza niż chcieliśmy ($\rightarrow \quad \Rightarrow$).

Sposoby pisania kwantyfikatorów podano powyżej. A jak zapisać zakres obowiązywania kwantyfikatora? Można to zrobić z użyciem wyrażeń typu indeksów dolnych. Przykładowo:

$$\forall_{x > 0} \quad \exists_{x\in A}$$

$$\forall_{x > 0} \quad \exists_{x\in A}$$

W normalnym LaTeXu wystarczy pojedynczy znak backslash przed nawiasem okrągłym; tu trzeba ten znak podwoić… Stąd preferuję użycie znaku $ na oznaczenie początku i końca wzoru. ↩︎
Uzyskanie wzorów numerowanych (na stronach WWW) jest trudne (ale nie niemożliwe). ↩︎
Zwracam uwagę na różnicę pomiędzy \frac a \dfrac. Te d oznacza „displaystyle” czyli wszystko jest nieco większe. ↩︎

LaTeX	Wygląd
$a = b\cdot c$	$a = b\cdot c$
`\(a = b\cdot c\)`	(a = b\cdot c)
`Niech $a=b+c$ oraz niech $d=e+f$.`	Niech $a=b+c$ oraz niech $d=e+f$.
`Wtedy $a+d=b+c+e+f$`	Wtedy $a+d=b+c+e+f$