Wzory w LaTeXu | Wojciech Myszka

Piszemy artykuł ze wzorami matematycznymi

LaTeX jest bogato wyposażony w środki służące do eleganckiego i prostego redagowania wzorów matematycznych. Oczywiście wszystko to, co powiedzieliśmy dotąd o redagowaniu artykułów odnosi się także do prac matematycznych i artykułów technicznych zawierających wzory. Czytelnik nie zamierzający ich stosować może, w zasadzie, rozdział ten pominąć.

Otoczenie matematyczne

Poznaliśmy już kilka otoczeń, na przykład służących do wyliczania (Rozdział 4.2). Otoczenie matematyczne, które dalej w skrócie oznaczać będziemy math, ma wiele cech podobnych. Są jednak także pewne różnice, sprowadzające się do tego, że w otoczeniu math nie wszystkie komendy są dozwolone lub działają nieco inaczej.

Sposobów wchodzenia w otoczenie math jest kilka, w zależności od tego czy wzór ma być w tekście, czy poza nim, numerowany czy też nie. O tych komendach, które powodują umieszczenie wzoru poza tekstem z pustymi liniami przed i po wzorze, będziemy krótko mówić, że eksponują wzór. Chociaż takie użycie tego słowa nie jest w języku polskim powszechnie przyjęte, wydaje się ono lepsze niż kalka językowa wzór wyświetlony na oznaczenie displayed formula.

Deklarowanie otoczenia math.

Podstawowe sposoby deklarowania otoczenia math są następujące:

Deklarowanie wzorów w tekście:
1. $tekst wzoru$
2. $tekst wzoru$¹
3. \begin{math} tekst wzoru \end{math}
Eksponowanie wzorów bez numeracji:
1. \[tekst wzoru\]
2. \begin{displaymath} tekst wzoru \end{displaymath}
Wzory eksponowane i numerowane² (za wyjątkiem pozycji 3):
1. \begin{equation} tekst wzoru \end{equation}
2. \begin{eqnarray} tekst wzoru \end{eqnarray}
3. \begin{eqnarray*} tekst wzoru \end{eqnarray*}
W tym przypadku trzeba skorzystać z krótkiego kodu math.

Zakres zastosowania powyższych deklaracji nie wymaga, w zasadzie, komentarza. Jakie są zatem różnice między deklaracjami otoczeń z tej samej grupy. Deklaracje grup pierwszej i drugiej są wewnątrz grup równoważne. To po co jest ich po kilka? Te krótkie służą ekonomii pisania znaczków. Te długie, służą, jak się wydaje, zapewnieniu jednolitej formy komendom definiującym otoczenia w LaTeXu. Ale nie tylko, komendy zawierające backlash i nawiasy (okrągłe i kwadratowe) bywają kłopotliwe wtedy, gdy we wzorach następuje ,,zgęszczenie" różnych nawiasów. W takich sytuacjach lepiej używać pełnej słownej, formy komendy. Odporna na różne konteksty zastosowań jest też komenda $tekst wzoru$ , stosowana do wzorów w tekście.

Komentarza wymagają też różnice między deklaracjami trzeciej grupy. Wszystkie one eksponują wzory, z tym, że otoczenie equation stosuje się do pojedynczych wzorów, natomiast otoczenie eqnarray stosowane jest do wzorów w kilku wierszach (jak je pisać pokażemy osobno poniżej). W obu tych przypadkach wzory są numerowane kolejno - LaTeX zakłada osobny licznik do numerowania wzorów (kwestię odwoływania się do wzorów też omówimy osobno dalej). Wersja eqnarray z gwiazdką też służy do pisania wzorów wielowierszowych, lecz ich nie numeruje.

Zanim przejdziemy do prezentacji sposobów pisania różnych symboli we wzorach, zobaczmy jak wyglądają one w poszczególnych otoczeniach.

Przykłady wzorów w tekście.

LaTeX	Wygląd
$a = b\cdot c$	$a = b \cdot c$
`$a = b\cdot c$`	(a = b\cdot c)
`Niech $a=b+c$ oraz niech $d=e+f$.`	Niech $a = b + c$ oraz niech $d = e + f$ .
`Wtedy $a+d=b+c+e+f$`	Wtedy $a + d = b + c + e + f$

Aby wyeksponować wzór, piszemy tak:

$$a^{2} + b^{2} =c^{2}$$

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

$$a\in A \; {\rm and} \; b\in B \; {\rm then} \; a\in A\cup B$$ 
$$A\subset A\cup B$$

$a \in A; a n d; b \in B; t h e n; a \in A \cup B$

$A \subset A \cup B$

Powyżej użyto kilku symboli, które zdefiniujemy dopiero później, ale ich znaczenia nietrudno się domyślić. W szczególności, {\rm tekst} powoduje, że tekst wewnątrz otoczenia math nie zostanie potraktowany jako ciąg symboli matematycznych. Przykład zastosowania otoczenia eqnarray podamy dalej.

Podstawowe zasady redagowania wzorów matematycznych

Prosimy Czytelnika o wyrozumiałe potraktowanie podanych niżej zasad redagowania wzorów pod LaTeXem. Są one ogólne i jako takie bywają trywialne (to w celu ośmielenia, aby samemu spróbować) lub są od nich wyjątki (i te mogą denerwować, jeśli zasady potraktuje się zbyt dogmatycznie).

Zasady redagowania wzorów.

Wszystkie wzory, a nawet pojedyncze litery w tekście, będące symbolami matematycznymi piszemy w otoczeniu math.
Wewnątrz otoczenia math większość wzorów daje się pisać zgodnie ze ,,zdrowym rozsądkiem", a jeśli na coś nie ma symbolu na klawiaturze, to powiniśmy znaleźć go w tej książce.
Symbole LaTeXa używane we wzorach mają wewnętrzną logikę, raz obejrzane i kilka razy użyte same wchodzą w podświadomość.
Próby własnego formatowania wzoru w otoczeniu math nie mają większego sensu. LaTeX nie bierze pod uwagę dodatkowych spacji, chyba że specjalnie go do tego skłonimy.
Większość standardowych funkcji matematycznych oraz będących w międzynarodowym użyciu skrótów matematycznych oznacza to co powinny oznaczać, należy je tylko poprzedzić backslashem. I tak: \sin x oznacza $\sin x$ . Szczegółowe informacje podano w poniższej Tablicy.
LaTeX Wygląd LaTeX Wygląd
\arccos $\arccos$ \arcsin $\arcsin$
\arctan $\arctan$ \cos $\cos$
\cosh $\cosh$ \cot $\cot$
\coth $\coth$ \csc $\csc$
\deg $\deg$ \det $det$
\dim $\dim$ \exp $\exp$
\gcd $gcd$ \hom $hom$
\ker $\ker$ \Pr $Pr$
\sec $\sec$ \sin $\sin$
\sinh $\sinh$ \tan $\tan$
\tanh $\tanh$
Większość greckich liter pisze się tak: \angielski zapis litery. Przykładowo: \alpha, \beta, \gamma oznaczają to, czego można się po nich spodziewać ( $α β γ$ ).

LaTeX	Wygląd	LaTeX	Wygląd
`\arccos`	$\arccos$	`\arcsin`	$\arcsin$
`\arctan`	$\arctan$	`\cos`	$\cos$
`\cosh`	$\cosh$	`\cot`	$\cot$
`\coth`	$\coth$	`\csc`	$\csc$
`\deg`	$\deg$	`\det`	$det$
`\dim`	$\dim$	`\exp`	$\exp$
`\gcd`	$gcd$	`\hom`	$hom$
`\ker`	$\ker$	`\Pr`	$Pr$
`\sec`	$\sec$	`\sin`	$\sin$
`\sinh`	$\sinh$	`\tan`	$\tan$
`\tanh`	$\tanh$

Wśród ogólnych zasad wymienić warto reguły pisania indeksów u dołu i u góry liter.

Indeksy górne.

litera^{indeks}
(tekst wzoru)^{indeks}

Przykład

$$x^{2} + a^{i^{2}} \;\; x^{x} -  e^{2x}$$

$x^{2} + a^{i^{2}};; x^{x} - e^{2 x}$

Indeksy dolne.

litera_{indeks dolny}
(tekst wzoru)_{indeks dolny}

Przykład

$$x_{i}+a_{i_{j}} - z_{i+j}$$

$x_{i} + a_{i_{j}} - z_{i + j}$

$$x_{\bullet}+H_{\sqrt(n)}$$

$x_{∙} + H_{\sqrt{(} n)}$

Możliwe jest oczywiście równoczesne użycie dolnych i górnych indeksów:

$$x^{(i)}_{j} + a_{j^{2}} + b^{(i_{1})}_{k_{2}}$$

x_{j}^{(i)} + a_{j^{2}} + b_{k_{2}}^{(i_{1})}

Jeżeli wzór po przekształceniu do HTML nie wygląda tak jak powinien — zapewne wynika to z tego, że zawartość wzoru jest przekształcana przez parser Markdown — można zamknąć go wewnącz krótkiego kodu

{{< math >}} wzór {{< /math >}}

Musiałem to zrobić w przypadku powyższego wzoru.

Pisanie indeksów umieściliśmy wśród ogólnych zasad pisania wzorów. Uzasadnienie tego wyboru zawarte jest w poniższych stwierdzeniach.

Zarówno litera jak i indeks w powyższych schematach pisania indeksów mogą być skomplikowanymi wyrażeniami.
Te same zasady rządzą pisaniem indeksów i potęg.
Dokładnie tak samo jak indeksy piszemy zakresy sumowania, całkowania i wielokrotnego indeksowanego mnożenia.

Podstawowe operacje

Prezentację symboli LaTeXa spróbowaliśmy podzielić na (umowne) działy, aby ułatwić ich odnajdowanie.

Cztery działania

Dodawanie i odejmowanie nie nastręczają trudności. Piszemy zwyczajnie: $a + b$ oraz $a - b$ , z użyciem dostępnych na klawiaturze znaków.

Mnożenie i dzielenie.

Klawiatura nie zawiera kropki do mnożenia (* rezerwuje LaTeX do swoich komend). Dlatego operacje te piszemy wybierając jeden ze sposobów podanych w Tablicy, pamiętając o pisaniu wzorów w otoczeniu math.

LaTeX	Wygląd
$ab$	$a b$
$a\cdot b$	$a \cdot b$
$a\times b$	$a \times b$
$a * b$	$a * b$
$\frac{licznik}{mianownik}$	$\frac{l i c z n i k}{m i a n o w n i k}$
$\dfrac{licznik}{mianownik}$ ³	$\frac{l i c z n i k}{m i a n o w n i k}$

Zwracamy uwagę, że między nawiasami klamrowymi obejmującymi licznik i mianownik [nie ma spacji]{.ul}.

Przykłady

$$(a+b)\cdot(c+d) + \frac{a+b}{c-d}$$

$(a + b) \cdot (c + d) + \frac{a + b}{c - d}$

$$a_{i}\cdot\frac{x}{x+\frac{1}{y}}$$

$a_{i} \cdot \frac{x}{x + \frac{1}{y}}$

$$\frac{1+a\times (b+\frac{c}{d+1})}{x+y}$$

$\frac{1 + a \times (b + \frac{c}{d + 1})}{x + y}$

Zobaczymy teraz jak pisać sumy i iloczyny indeksowane.

$$\sum x_{i} \;\; \prod a_{i}$$

$\sum x_{i};; \prod a_{i}$

$$\sum_{i} x_{i} \;\; \prod_{i} a_{i}$$

$\sum_{i} x_{i};; \prod_{i} a_{i}$

$\sum_{i = 1}^{n} x_{i};; \prod_{i = 1}^{n} a_{i}$

Oczywiście $x_{i}$ oraz $a_{i}$ w powyższych wzorach zastąpić można znacznie bardziej skomplikowanymi wyrażeniami. Uwaga ta dotyczy też zakresów sumowania i mnożenia.

Inne często używane działania arytmetyczne

Pierwiastkowanie.

   \sqrt{argument}
   \sqrt[n]{argument}

Przykładowo:

$$\sqrt[3]{x+y+z-2}$$

$\sqrt[3]{x + y + z - 2}$

W skomplikowanych wyrażeniach, gdzie znak pierwiastka byłby monstrualnych rozmiarów, lepiej użyć znaku potęgowania do ułamkowej potęgi.

Potęgowanie.

Oto przykłady komend:

$$a^{b} \;\;   (a+b)^{c}$$

$a^{b};; (a + b)^{c}$

 $$a^{\frac{b}{c}}$$

$a^{\frac{b}{c}}$

Przykłady te pokazują, że zarówno wyrażenie podnoszone do potęgi jak i wykładnik mogą być skomplikowanymi wzorami, do których stosują się reguły otoczenia math.

Znaki równości, nierówności i im podobne

Znaki +, -, = dostępne są na klawiaturze i te piszemy (we wzorach) ,,normalnie", tzn. bez żadnych ozdobników w postaci \, nawiasów itp. Sposób pisania tych znaków poza wzorami wymaga rozważenia! Cyfry, znaki operacji , relacji w trybie matematycznym wyglądają nieco inaczej.

-1 
+3 
2=7

-1

2=7

$-1$
$+3$
$2=7$

$- 1$

$+ 3$

$2 = 7$

Zestaw symboli, które trzeba pisać specjalnie podajemy poniżej

$<$: < obie ostre nierówności (i inne znaki też)
$>$: > stosować w otoczeniu math.
$\leq$: \leq mniejsze lub równe.
$\geq$: \geq większe lub równe.
$\equiv$: \equiv równoważne.
$\sim$: \sim tego samego rzędu, podobne.
$≃$: \simeq w przybliżeniu równe, podobne lub równe.
$\approx$: \approx w przybliżeniu równe, aproksymuje.
$≅$: \cong kongruentne, w przybliżeniu równe.
$≍$: \asymp równość asymptotyczna.
$\neq$: \neq nie jest równe.
$≐$: \doteq polecamy do zapisu równości z definicji, bo wstawienie znaczka def nad = jest pracochłonne.
$≪$: \ll znacznie mniejsze (zwykle o kilka rzędów).
$≫$: \gg znacznie większe (zwykle o kilka rzędów).

A oto przykłady zastosowania kilku symboli z powyższego zestawu

$$a+b\leq c$$

$a + b \leq c$

 $$A\equiv B$$

$A \equiv B$

$$a^{2}\ll \sqrt[10]{a}$$

$a^{2} ≪ \sqrt[10]{a}$

Wzory podstaw matematyki

Wyrażenia teorii mnogości

Podstawowe wyrażenia teorii mnogości pisze się całkiem naturalnie. Jak można oczekiwać, \in oznacza element zbioru, a \subset podzbiór zbioru. A oto przykłady (\quad to taki większy odstęp):

$$a\in A \quad A\subset B$$

$a \in A A \subset B$

$$a\in A\subset B$$

$a \in A \subset B$

Pełną listę operacji poniżej

$\subset$: \subset podzbiór.
$\subseteq$: \subseteq podzbiór, który może być równy całemu zbiorowi.
$\supset$: \supset nadzbiór.
$\supseteq$: \supseteq nadzbiór, który może być równy zbiorowi.
$\in$: \in element zbioru.
$∋$: \ni element zbioru.
$\emptyset$: \emptyset zbiór pusty.
$⊏$: \sqsubset nie wiemy, co sądzić o takim podzbiorze.
$⊑$: \sqsubseteq to też taki podzbiór, ale może być równy temu, w którym się zawiera.
$⊐$: \sqsupset jeśli poprzednie nam nie przeszkadzały to ten też nie powinien.
$⊒$: sqsupseteq łatwo było zgadnąć, jak taki znaczek otrzymać i co on oznacza.
$\cap$: \cap iloczyn zbiorów.
$\cup$: \cup suma zbiorów.
$⋂$: \bigcap ,,duży" iloczyn zbiorów.
$⋃$: \bigcup ,,duża" suma zbiorów.

Można oczywiście indeksować sumy i iloczyny zbiorów. Na przykład:

$⋂_{i = 1}^{n} A_{i}$

A jak zrobić różnice symetryczną zbiorów? Wobec braku jednolitej konwencji w literaturze można użyć jednego z poniższych znaczków:

$$\ominus \quad \setminus \quad \triangle$$

$⊖ ∖ △$

Warto wspomnieć jeszcze o komendzie \aleph ( $ℵ$ ). Natomiast specjalnego znaku do oznaczania mocy zbioru nie znaleźliśmy.

Kwantyfikatory i wyrażenia logiczne

Zacznijmy od najprostszych symboli:

$\lor$: \vee alternatywa.
$\land$: \wedge koniunkcja.
$\Rightarrow$: \Rightarrow implikacja.
$\Leftarrow$: \Leftarrow implikacja (lewa, ale nie koniecznie nieprawdziwa).
$\neg$: \neg znak negacji logicznej.
$\forall$: \forall duży kwantyfikator.
$\exists$: \exists mały kwantyfikator.
$⋀$: \bigwedge duży kwantyfikator dla tradycjonalistów.
$⋁$: \bigvee mały kwantyfikator tradycyjny.
$\Leftrightarrow$: \Leftrightarrow wtedy i tylko wtedy, wynikanie w obie strony.
$⟹$: \Longrightarrow implikacja (długa, ale przez to nie koniecznie bardziej prawdziwa).
$⟸$: \Longleftarrow implikacja (długa w lewo).
$⟺$: \Longleftrightarrow to chyba najdłuższa zbitka kilku słów bez spacji jaka w LaTeXu występuje.
$⇓$: \Downarrow implikacja z góry w dół może się przydać w diagramach wnioskowania).
$⇑$: \Uparrow niektórzy wolą wnioskować z lewa na prawo a inni z dołu do góry.
$⇕$: \Updownarrow a jeszcze inni wolą w obie strony.
$⊨$: \models to też jest podobno w logice używane.
$≺$: \prec symbol relacji poprzedzania.
$⪯$: \preceq poprzedza lub współwystępuje.
$≻$: \succ następnik.
$⪰$: \succeq następnik, który może się spóżnić.

Warto zwrócić uwagę, że LaTeX rozróżnia duże i małe litery, także w komendach. Jeśli zatem napiszemy \rightarrow zamiast \Rightarrow, to strzałka będzie cieńsza niż chcieliśmy ( $\to \Rightarrow$ ).

Sposoby pisania kwantyfikatorów podano powyżej. A jak zapisać zakres obowiązywania kwantyfikatora? Można to zrobić z użyciem wyrażeń typu indeksów dolnych. Przykładowo:

$$\forall_{x > 0} \quad \exists_{x\in A}$$

$\forall_{x > 0} \exists_{x \in A}$

W normalnym LaTeXu wystarczy pojedynczy znak backslash przed nawiasem okrągłym; tu trzeba ten znak podwoić… Stąd preferuję użycie znaku $ na oznaczenie początku i końca wzoru. ↩︎
Uzyskanie wzorów numerowanych jest trudne (ale nie niemożliwe). ↩︎
Zwracam uwagę na różnicę pomiędzy \frac a \dfrac. Te d oznacza „displaystyle” czyli wszystko jest nieco większe. ↩︎

LaTeX	Wygląd
$a = b\cdot c$	$a = b \cdot c$
`\(a = b\cdot c\)`	(a = b\cdot c)
`Niech $a=b+c$ oraz niech $d=e+f$.`	Niech $a = b + c$ oraz niech $d = e + f$ .
`Wtedy $a+d=b+c+e+f$`	Wtedy $a + d = b + c + e + f$