Zadanie 1

Korzystając z pakietu symbolicznego rozwiązać jedno (lub kilka) z poniższych równań różniczkowych:

1. $$\begin{array}{c}\frac{dy}{dt}+4y(t)={\mathrm{e}}^{-t}\\ y(0)=1\end{array}$$
2. $$2x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+3x\frac{dy}{dx}-y=0$$
3. $$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=xy(x)$$
4. $$(x^2+1)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-2x\frac{dy}{dx}+y=0$$

Zadanie 2

Równanie różniczkowe

$$m{x}^{″}+c{x}^{\prime }+kx=F(t)$$

Opisuje, znany z mechaniki układ o jednym stopniu swobody złożony z jednej masy $m$ skupionej, zawieszonej na liniowej sprężynie o sztywności $k$, z równolegle działającym tłumikiem wiskotycznym o stałej tłumienia $c$. Przyjmujemy, że w elemencie sprężystym tego układu działa siłą $F_s(x)$ zależna liniowo od przemieszczenia $F_s(x)=kx$ w tłumiku zaś siła $F_t(x^{\prime })$ zależna liniowo od prędkości $F_t(x^{\prime })=c{x}^{\prime }$. $F(t)$ to przyłożone wymuszenie.

W układzie SI:

$[F]=[N]=[\mathrm{kg},\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2]$, $[m]=[\mathrm{kg}]$, $[c]=[\mathrm{N},\mathrm{s}/\mathrm{m}]$, $[k]=[\mathrm{N}/\mathrm{m}]=[\mathrm{kg}/{\mathrm{s}}^2]$.

1. Rozwiązać symbolicznie powyższe równanie różniczkowe.

2. Patrząc na poniższą tabelę (która, mam nadzieję jest samoobjaśniająca) wybrać tak wartości parametrów równania ($m,c,k$ i niezerowy warunek początkowy), żeby uzyskać oscylacyjny wykres przemieszczenia $x(t)$ o stałej lub zanikającej amplitudzie w warunkach braku wymuszenia ($F(t)=0$).

3. Sytuacja gdy $c=0$, to układ bez tłumienia. Jak się będzie on zachowywał przy niezerowych warunkach początkowych? (A jak przy zerowych?) Rozwiązać równanie i w tym przypadku i narysować wykres $x(t)$.
4. Przyjąć wymuszenie o charakterze harmonicznym i o częstotliwość bliskiej częstości drgań własnych. Jak zachowuje się układ? Narysować wykres $x(t)$.

Uwaga

1. Wszystkie kąty funkcji trygonometrycznych w MATLABie traktowane są jako kąty w radianach.

2. Funkcja $\sin (t)$ ma okres $T=2\pi$ i częstotliwość $f={\displaystyle \frac{1}{T}}={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}$

3. Przebieg $\sin (2\pi ft)$ ma częstotliwość $f$ [Hz]

   syms t
   fplot(sin(2*pi*t),[0 3])
   

   Kopia

   

   Jak widać na wykresie funkcji $\sin (2\pi t)$ ($f=1$) na odcinku czasu o długości 3 [s] są trzy okresy.