Zadanie 1
Korzystając z pakietu symbolicznego rozwiązać jedno (lub kilka) z poniższych równań różniczkowych:
- $$\begin{array}{c} \frac{dy}{dt}+4y(t)=\mathrm{e}^{-t} \\ y(0)=1\end{array}$$
- $$2x^{2}\frac{d^2 y}{dx^2}+3x\frac{dy}{dx}-y=0$$
- $$\frac{d^2 y}{dx^2}=xy(x)$$
- $$(x^2+1)\frac{d^2 y}{dx^2}-2x\frac{dy}{dx}+y=0$$
Zadanie 2
Równanie różniczkowe
$$m x’’ + c x’ + k x = F(t)$$
Opisuje, znany z mechaniki układ o jednym stopniu swobody złożony z jednej masy $m$ skupionej, zawieszonej na liniowej sprężynie o sztywności $k$, z równolegle działającym tłumikiem wiskotycznym o stałej tłumienia $c$. Przyjmujemy, że w elemencie sprężystym tego układu działa siłą $F_s(x)$ zależna liniowo od przemieszczenia $F_s(x)=kx$ w tłumiku zaś siła $F_t(x’)$ zależna liniowo od prędkości $F_t(x’) = c x’$. $F(t)$ to przyłożone wymuszenie.
W układzie SI:
$[F] = [N] = [\mathrm{kg}, \mathrm{m}/\mathrm{s}^2]$, $[m] = [\mathrm{kg}]$, $[c] = [\mathrm{N}, \mathrm{s}/\mathrm{m}]$, $[k] = [\mathrm{N}/\mathrm{m}] = [\mathrm{kg}/\mathrm{s}^2]$.
Rozwiązać symbolicznie powyższe równanie różniczkowe.
Patrząc na poniższą tabelę (która, mam nadzieję jest samoobjaśniająca) wybrać tak wartości parametrów równania ($m, c, k$ i niezerowy warunek początkowy), żeby uzyskać oscylacyjny wykres przemieszczenia $x(t)$ o stałej lub zanikającej amplitudzie w warunkach braku wymuszenia ($F(t)=0$).
| parametr | wartość teoretyczna |
|---|---|
| częstość drgań swobodnych (bez tłumienia) | $\omega_s = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$ |
| częstość drgań własnych (z tłumieniem) | $\omega_o = \sqrt{\dfrac{k}{m}-\left(\dfrac{c}{2m}\right)^2}$ |
| częstotliwość rezonansowa | $f_r=\dfrac{\omega}{2\pi}$ |
| dekrement tłumienia | $\delta_T = \dfrac{2\pi}{\sqrt{\dfrac{4mk}{c^2}-1}}$ |
| wsp. tłumienia krytycznego $[\mathrm{kg}/\mathrm{s}]$ | $c_{\mathrm{kr}}=2\sqrt{m k}$ |
- Sytuacja gdy $c=0$, to układ bez tłumienia. Jak się będzie on zachowywał przy niezerowych warunkach początkowych? (A jak przy zerowych?) Rozwiązać równanie i w tym przypadku i narysować wykres $x(t)$.
- Przyjąć wymuszenie o charakterze harmonicznym i o częstotliwość bliskiej częstości drgań własnych. Jak zachowuje się układ? Narysować wykres $x(t)$.
Uwaga
Wszystkie kąty funkcji trygonometrycznych w MATLABie traktowane są jako kąty w radianach.
Funkcja $\sin(t)$ ma okres $T=2\pi$ i częstotliwość $f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{2\pi}$
Przebieg $\sin(2\pi ft)$ ma częstotliwość $f$ [Hz]
syms t fplot(sin(2*pi*t),[0 3])
Wykres funkcji $\sin$ Jak widać na wykresie funkcji $\sin(2\pi t)$ ($f=1$) na odcinku czasu o długości 3 [s] są trzy okresy.