Metoda połowienia dla bystrzaków

Zadanie zostało opisane tak:

1. Mamy funkcję \(f(x)\) ciągłą, monotoniczną i taką, że dla zadanych dwu punktów \(a\) i \(b\) \(f(a)\cdot f(b) < 0\) (funkcja zmienia znak w tym przedziale, a więc ma tam miejsce zerowe).
2. Mamy znaleźć jej miejsce zerowe.
3. Nie potrafimy analitycznie rozwiązać równanie \(f(x)=0\).

Proponuję iteracyjną metodę szukania punktu najbliższego rozwiązaniu tego równania metodą połowienia.

1. Znajdźmy środek przedziału \((a, b)\): \(c=(a+b)/2\).
2. Jeżeli funkcja zmienia znak w przedziale \((a,c)\) — odrzucamy przedział \((c,b)\), w przeciwnym razie¹ odrzucamy przedział \((a,c)\).
3. Powyższą procedurę powtarzamy tak długo, aż długość przedziału \((a,b)\) będzie krótsza niż zadana wartość \(\varepsilon\), lub gdy wartość funkcji \(f(c)\) będzie bliska zeru (\(|f(c)|<\delta\)).

Dalsze założenia

Do dalszych obliczeń wybierzemy funkcję, której miejsca zerowego będziemy szukali. Będzie to funkcja \(\sin(x)\). Z formalnego punktu widzenia nie spełnia ona założeń (jest okresowa), ale jeżeli ograniczymy rozważania do przedziału \((2,5)\) wszystko powinno być dobrze. Oprócz tego znamy dokładną wartość miejsca zerowego: jest nią \(\pi\).

Kompletny program może wyglądać tak:

int main(int argc, char \*\*argv)
{
    double A, B, C;
    A = 2.;
    B = 5.;
    delta = 0.00001;
    epsilon = 0.0001;

delta to stała definiująca dostateczną „bliskość” \(f(c)\) od zera pozwalająca przerwać obliczenia, a epislon to stałą określająca graniczną długość przedziału poszukiwań.

pocz:
    C = ( A + B ) / 2.;
    if ( fabs( sin(C) ) < delta ) // czy wartość funkcji blisko zera?
    {
        printf("C=%.16f\\n", C);
        return 0;
    }
    else if ( sin(A) \* sin(C) > 0 )
        A = C;
    else
        B = C;
    if ( fabs(A - B) > epsilon ) // czy przedział nie jest wystarczająco krótki?
        goto pocz;
    printf("!C=%.16f\\n", ( A + B ) / 2.);
    return 0;
}

Właściwie nie ma o czym więcej pisać.